METODE NEWTON RAPHSON

Diposkan oleh youhanez.blogspot.com di 21:50

Algoritma Metode Newton Raphson:

1. Definisikan fungsi f(x) dan f¹(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x₀
4. Hitung f(x₀) dan f^’(x₀)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x_i)|> e

R  Hitung f(x_i) dan f¹(x_i)

R  Akar persamaan adalah nilai x_i yang terakhir diperoleh.

1.      Program menghitung nilai x dari persamaan f(x) : x² + 3x – 10 dengan menggunakan metode Newton Rapshon.

Deksripsi :

            Metode Newton Rapshon menggunakan formula atau algoritma untuk mendapatkan nilai x maka :

*. x[n+1] = x[n] – f(x)/f`(x)

*.  Parameter awal x diinput dan nilai e = 0.0005

*.  f(x) = fungsi persamaan x² + 3x – 10 = 0, maka x = 2 atau x = -5, jadi kita menginputkan bilangan x awal apabila mendekati 2 maka hasil x akhir = 3, dan apabila mendekati = -5 maka hasil x akhir = 5

*.  f`(x) = fungsi turunan pertama f(x) 2x + 3

*.  nilai e = 0.0005

*.  kondisi dimana perulangan berhenti nilai mutlak (Absolute) |x[n+1] – x[n]| < e, dimana hasil x[n] = x.

a. Listing Program

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <conio.h>

float Fungsi(float x);

float FungsiTurunan(float x);

main()

{

      int n=0;

   float x[100];

   float e = 0.0005;

   printf("           Program Newton Rapshon         \n");

   printf("           ======================         \n\n");

   printf("Persamaan Fungsi f(x) : \n");

   printf("     x*x + 3x - 10         \n\n");

   printf("x(n+1)                : \n");

   printf("     x(n)-(f(xn)/f'(xn))     \n\n");

   printf("Nilai e = 0.0005\n\n");

   printf("Masukkan nilai x Awal : "); scanf("%f",&x[0]);

   printf("==================================================================\n");

   printf("!  n  !    xn     !   f(xn)   !  f'(xn)  ! f(xn)/f'(xn) ! x(n+1) !\n");

   printf("==================================================================\n");

   do

   {

   x[n+1] = x[n] - (Fungsi(x[n])/FungsiTurunan(x[n]));

   printf("!  %d  !  %2.4f   !   %2.4f  !  %2.4f  !    %2.4f    ! %2.4f !\n", n, x[n],Fungsi(x[n]), FungsiTurunan(x[n]),Fungsi(x[n])/FungsiTurunan(x[n]),x[n+1]);

   n++;

   }while(abs(x[n-1]-x[n-2])>e);

   printf("!  %d  !  %2.4f   !   %2.4f  !  %2.4f  !    %2.4f    ! %2.4f !\n", n, x[n],Fungsi(x[n]), FungsiTurunan(x[n]),Fungsi(x[n])/FungsiTurunan(x[n]),x[n+1]);

   printf("==================================================================\n\n");

   printf("Jadi, Hasil yang memenuhi dari persamaan tersebut x = %2.4f", x[n]);

   getch();

}

float Fungsi(float x)

{

      return pow(x,2)+(3*x)-10;

}

float FungsiTurunan(float x)

{

      return 2*x+3;

}

b. Output Program

Jika x awal = 2.5

Jika x awal = -5.5

Read more...

METODE REGULA FALSI (Posisi Palsu)

Diposkan oleh youhanez.blogspot.com di 21:42

Seperti metode pembelahan, metode posisi palsu dimulai dengan dua titik a ₀ dan b ₀ sedemikian sehingga f (a ₀₎ dan f (b ₀₎ adalah tanda yang berlawanan, yang berarti dengan teorema nilai antara bahwa fungsi f memiliki akar dalam interval [a _0, b _0], dengan asumsi kontinuitas fungsi f.. Metode hasil dengan memproduksi suatu urutan menyusut interval [a _{k, k} b] yang semuanya mengandung akar dari f.

Pada k  nomor iterasi, jumlahnya:

Seperti yang dijelaskan di bawah ini, _k c adalah akar dari garis sekan melalui _(k, f _(k a)) dan (b _k, f (b _k)). . Jika f _(k a) dan f (c _k) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan suatu _{k +1} = c _k dan b _{k k +1} = b, jika kita menetapkan a _{k +1} = b _k dan _{k + 1} = _k c. Proses ini diulang sampai akar adalah cukup didekati dengan baik.

Rumus di atas juga digunakan dalam metode sekan, tapi metode sekan selalu mempertahankan dua poin terakhir dihitung, sedangkan metode posisi palsu mempertahankan dua titik yang tentunya bracket akar. Di sisi lain, satu-satunya perbedaan antara metode posisi palsu dan metode pembelahan adalah bahwa yang kedua menggunakan _k c = (a _k + _k b) / 2.

Mencari akar dari garis potong.

Diberikan a dan b _{k k,} kita mengkonstruksi line melalui titik _(k, f _(k a)) dan (b _k, f (b _k)), seperti yang ditunjukkan pada gambar di  atas. Perhatikan bahwa garis tersebut adalah garis potong atau akord dari grafik fungsi f. Dalam bentuk titik-lereng , hal itu dapat didefinisikan sebagai:

Kita sekarang memilih _k c menjadi akar dari garis ini, jadi c dipilih sedemikian sehingga

 Penyelesaian persamaan ini memberikan persamaan di atas untuk _k c.

Analisis.

Jika akhir titik awal a ₀ dan b ₀ dipilih sedemikian sehingga f (a ₀₎ dan f (b ₀₎ adalah tanda yang berlawanan, maka salah satu-titik akhir akan berkumpul ke akar f. Asimtotik, pada titik akhir-lain akan tetap tetap untuk semua iterasi mendatang, sementara titik akhir konvergensi menjadi diperbarui. Akibatnya, tidak seperti metode pembelahan , lebar braket tidak cenderung nol. Sebagai konsekuensinya, pendekatan linier untuk f (x), yang digunakan untuk memilih posisi palsu, tidak meningkatkan kualitas.

Salah satu contoh dari fenomena ini adalah fungsi :

f ( x ) = 2 x ³ − 4 x ² + 3 x f (x) = 2 x ³ - 4 x ² + 3 x

pada braket awal [-1,1]. Ujung kiri, -1, tidak pernah diganti dan dengan demikian lebar braket tidak pernah turun di bawah 1. Oleh karena itu, titik akhir kanan mendekati 0 pada laju linear (dengan laju konvergensi dari 2 / 3).

Meskipun kesalahpahaman untuk berpikir bahwa metode posisi palsu adalah metode yang bagus, adalah sama kesalahan untuk berpikir bahwa itu adalah unsalvageable. Modus kegagalan adalah mudah untuk mendeteksi (akhir titik-sama masih dipertahankan dua kali berturut-turut) dan mudah diatasi dengan berikutnya memilih posisi palsu dimodifikasi, seperti :

 atau

turunan-bobot salah satu titik akhir nilai untuk memaksa _k c berikutnya terjadi pada sisi fungsi. Faktor dari 2 di atas terlihat seperti hack, tetapi menjamin konvergensi superlinear (asimtotik, algoritma akan melakukan dua langkah biasa setelah setiap langkah dimodifikasi). Ada cara lain untuk memilih rescaling yang memberikan tingkat konvergensi yang lebih baik superlinear.

Penyesuaian atas, dan modifikasi sejenis lainnya untuk PERATURAN Falsi disebut Algoritma Illinois. Ford (1995) merangkum dan menganalisa varian superlinear metode modifikasi dari posisi palsu. Dilihat dari bibliografi, PERATURAN dimodifikasi metode falsi yang terkenal di tahun 1970-an dan telah kemudian lupa atau misremembered dalam buku pelajaran saat ini.

CONTOH KODE PROGRAMNYA MENGGUNAKAN C++:

# Include <stdio.h>

# Include <math.h> 

double f( double x) 

{ 

    return cos(x) - x*x*x; 

} 

FalsiMethod ganda (double s, double t, double e, int m)

{ 

    int n,side=0; 

    double r,fr,fs = f(s),ft = f(t); 

    untuk (n = 1; <n = m; n + +)

    { 

        r = (fs*t - ft*s) / (fs - ft); 

        if (fabs(ts) < e*fabs(t+s)) break ; 

        fr = f (r);

        if (fr * ft > 0) 

        { 

           t = r; ft = fr; 

           jika (sisi ==- 1) fs / = 2;

           sisi = -1;

         }

        else if (fs * fr > 0) 

        { 

          s = r; fs = fr;

          if (== sisi +1) ft / = 2;

          side = +1;

         }

        lain break;

     }

    return r; return r;

}

int main( void ) 

{ 

    printf ("% 0.15f \ n", FalsiMethod (0, 1, 5E-15, 100));

    return 0; return 0;

} 

Setelah menjalankan kode di atas, jawaban akhir adalah sekitar 0,8654740331016

Read more...

METODE NUMERIK ( persamaan linier )

1. METODE BISEKSI (Bagi Dua).

•          Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas

•          f(x_l)f(x_u) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan u=upper (batas atas)

•          Minimal ada satu akar

Contoh soal misalnya:  F(X) = X³ + X² – 3X - 3
Maka Penyelesainya:
 (lihat entri selanjutnya dibawah)

Read more...

Dengan menggunakan flow chart

Read more...

penyelesaian menggunakan program pascal sbb :

Read more...

hasiL Nya sbb :

Read more...

METODE NUMERIK

Ada beberapa definisi Metode Numerik yang dikemukakan oleh ahli Matematika sebagai berikut:

•Metode Numerik: Teknik matematika yang di formulasikan untuk dapat menyeleseaikan pengoperasian aritmatika. (Chapra dan Chanale Tahun 1991)
•Metode numerik: teknik untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan dengan operasi hitungan yaitu: +, -, x dan / (Susila 1994; Ibraheem dan Hisyam 2003).

Jadi kesimpulannya, Metode numerik adalah suatu teknik memformulasikan masalah matematika yang diselesaikan dengan operasi aritmatika (+, -, x dan /) untuk memperoleh jawaban yang eksak. Misalnya menyelesaikan suatu persamaan.

Namun pada prinsipnya Metode numerik digunakan untuk persoalan yang penyeleseainnya berupa pendekatan dari nilai eksaknya yang menyediakan sejumlah kalkulasi aritmatika yang sulit dilakukan tanpa komputer.
Hal ini memunculkan beberapa alasan, mengapa orang menggunakan metode numerik untuk membantu memecahkan masalah, yaitu:

1.Lebih Efektif dan Efisien. Misalnya menyelesaikan persamaan tak linear, persamaan yang besar dan masalah lainnya termasuk dalam teknik dan sosial dapat diselesaikan secara analistis.

2.Tersedia dan diperdagangkan di mana saja yang dalam pengoperasiannya mencakup metode numerik.

3.Lebih leluasa dalam menggunakan metode numerik untuk memecahkan masalah yang di hadapinya.

4.Sebagai sarana untuk mengenal karakteristik komputer dan mendesain algoritma, diagram alur dan menulis program komputer sendiri.

5.Sarana untuk memperkuat kemampuan ilmu matematika.

Metode numerik juga tergolong dalam matematika terapan (applied mathematics) yang memerlukan kemahiran dalam menggunakan dan mengoperasikan komputer baik untuk paket program maupun program komputer. Paket program komputer apapun yang dikuasai dapat digunakan untuk membantu memecahkan masalah yang dihadapinya. 

Keberadaan komputer dalam mata kuliah metode numerik ,yaitu yang berkaitan dengan alat dan komputasi, akar persamaan tak linear meliputi pelokasian akar, metode bagi dua, metode posisis palsu, iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson, metode secant (talibusur); interpolasi meliputi interpolasi linear dan kuadrat, interpolasi beda terbagi Newton, interpolasi pada titik-titik berjarak sama, interpolasi largrange, interpolasi invers, dan interpolasi spline, diferensial dan integral numerik meliputi hampiran turunan, integral numerik, dan aturan komposisi, serta penggunaan metode numerik untuk memecahkan masalah sehari-hari adalah hanya sebagai alat untuk membantu dalam melakukan perhitungan numerik yang rumit dan bahkan yang sulit diselesaikan secara analistis

Read more...